Finite Mathematik Beispiele

$5000 = \frac{100 ({(1.01)}^{n} - 1)}{0.01}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $0.01$ .

$5000 \cdot 0.01 = \frac{100 ({1.01}^{n} - 1)}{0.01} \cdot 0.01$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $5000$ mit $0.01$ .

$50 = \frac{100 ({1.01}^{n} - 1)}{0.01} \cdot 0.01$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{100 ({1.01}^{n} - 1)}{0.01} \cdot 0.01$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.01$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$50 = \frac{100 ({1.01}^{n} - 1)}{0.01} \cdot 0.01$

Schritt 2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$50 = 100 ({1.01}^{n} - 1)$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$50 = 100 \cdot {1.01}^{n} + 100 \cdot - 1$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $100$ mit $- 1$ .

$50 = 100 \cdot {1.01}^{n} - 100$

Schritt 3

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $100 \cdot {1.01}^{n} - 100 = 50$ um.

$100 \cdot {1.01}^{n} - 100 = 50$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Addiere $100$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$100 \cdot {1.01}^{n} = 50 + 100$

Schritt 3.2.2

Addiere $50$ und $100$ .

$100 \cdot {1.01}^{n} = 150$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $100 \cdot {1.01}^{n} = 150$ durch $100$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $100 \cdot {1.01}^{n} = 150$ durch $100$ .

$\frac{100 \cdot {1.01}^{n}}{100} = \frac{150}{100}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{100 \cdot {1.01}^{n}}{100} = \frac{150}{100}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere ${1.01}^{n}$ durch $1$ .

${1.01}^{n} = \frac{150}{100}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $150$ und $100$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $50$ aus $150$ heraus.

${1.01}^{n} = \frac{50 (3)}{100}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $50$ aus $100$ heraus.

${1.01}^{n} = \frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${1.01}^{n} = \frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${1.01}^{n} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.01}^{n}) = \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 3.5

Zerlege $\ln ({1.01}^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$n \ln (1.01) = \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (1.01) = \ln (\frac{3}{2})$ durch $\ln (1.01)$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (1.01) = \ln (\frac{3}{2})$ durch $\ln (1.01)$ .

$\frac{n \ln (1.01)}{\ln (1.01)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (1.01)}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.01)$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n \ln (1.01)}{\ln (1.01)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (1.01)}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (1.01)}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$n = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (1.01)}$

Dezimalform:

$n = 40.74890715 \dots$